Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a _n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得關(guān)于d和a₁的方程組，解之代入通項(xiàng)公式可得；（Ⅱ）可得

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），裂項(xiàng)相消可得
原式=

1

2

（1-

1

2n+1

），由放縮法可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

4a1+ 4×3 2 d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2a1+2nd

，解得

a1=1 d=2

故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2n-1，n∈N*．…（6分）
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．