Question

設f（x）=

a•2x-1

1+2x

是R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判定f（x）在R上的單調性．
（3）若對于任意的x∈[-1，1]，f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（ 1）由于函數(shù)定義域是R，因為f（x）是奇函數(shù)，故有f（0）=

a-1

2

=0，由此解得a的值．
（2）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），從而可得f（x）是增函數(shù)．
（3）由于f（x）在[-1，1]上也是增函數(shù)，要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值，求得f（x）的最小值，可得a的取值范圍．

解答：解：（ 1）由于函數(shù)定義域是R，因為f（x）是奇函數(shù)，故有f（0）=

a-1

2

=0，
解得a=1．…（4分）
（2）f（x）增函數(shù)，…（5分）
因為f(x)=

2x-1

1+2x

，設設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得2x1＜2x2．
則f（x₁）-f（x₂）=…=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）是增函數(shù)．…（9分）
（3）由（2）知f（x）在R上是增函數(shù)，所以f（x）在[-1，1]上也是增函數(shù)，
要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值．
而f（x）的最小值為f（-1）=-

1

3

，
∴a≤-

1

3

…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．