Question

設(shè)代數(shù)方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個(gè)不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數(shù)得a₁=    ；若已知展開式對(duì)x∈R，x≠0成立，則由于有無(wú)窮多個(gè)根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結(jié)論可得=    ．

Answer 1

【答案】分析：代數(shù)方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個(gè)不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，∴a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a，與條件比較兩邊x²的系數(shù)可以推得結(jié)論；由于有對(duì)x∈R且x≠0恒成立，方程 有無(wú)究多個(gè)根：±π，±2π，…±nπ，…，則比較兩邊x²的系數(shù)可以推得結(jié)論．
解答：解：∵代數(shù)方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個(gè)不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，
∴a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a
又
比較兩邊x²的系數(shù)可以推得：a₁=
由
比較兩邊x²的系數(shù)可以推得：1+
故答案為a₁=；1+
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，其中由已知根據(jù)方程根的形式，將一個(gè)累加式變成一個(gè)累乘式，用到一次類比推理；現(xiàn)時(shí)觀察兩邊x2的系數(shù)得到結(jié)論，又用到一次類比，故難較大．