Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=3ⁿ+k（k為常數(shù)，n∈N^*）．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足

an+1

2

=(4+k)2n•bn，求數(shù)列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）方法一：由題意可得

a1=3+k a1+a2=9+k a1+a2+a3=27+k

解得a₁，a₂，a₃．利用{a_n}為等比數(shù)列，可得a22=a1a3，解得k，可得S_n．當n=1時，a₁=S₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
方法二：當n=1時，a₁=S₁=3+k；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．由于數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，可得q=

a3

a2

=

a2

a1

，解得k，即可得到a_n．
（2）將k及a_n+1，代入

an+1

2

=(4+k)2 nbn，得bn=

n

2n

，再利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）方法一
由題意可得

a1=3+k a1+a2=9+k a1+a2+a3=27+k

，
∴

a1=3+k a2=6 a3=18

，
又∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴a22=a1a3，
即36=18（3+k），解得k=-1，
∴Sn=3n-1．
當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1，
顯然，n=1時也適合an=2•3n-1，
∴an=2•3n-1．
方法二
當n=1時，a₁=S₁=3+k；          
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1．
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=3，
即

2×3

3+k

=3，
解得k=-1，
∴an=2•3n-1．
（2）將k=-1及an+1=2•3n，代入

an+1

2

=(4+k)2 nbn，得bn=

n

2n

，
∴Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式、“錯位相減法”、求通項公式的方法，屬于中檔題．