Question

定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是

1. A.
   直線
2. B.
   圓
3. C.
   橢圓
4. D.
   雙曲線的一支

Answer 1

A
分析：對點(diǎn)B分類討論，利用橢圓、雙曲線、圓的定義即可判斷出答案．
解答：對定點(diǎn)B分類討論：
①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|=|AP|=R＞|AB|．
由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．
②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|-|AM|=|AP|=R＜|AB|．
由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．
③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：
設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，
因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓．
④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個點(diǎn)B．
綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點(diǎn)，而不可能是一條直線．
故選A．
點(diǎn)評：熟練掌握利用橢圓、雙曲線、圓的定義、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．