Question

已知函數(shù)f （x）=e^g（x），g （x）=

kx-1

x+1

（e是自然對(duì)數(shù)的底），
（1）若函數(shù)g （x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值；
（3）證明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）求出g′（x）的解析式，由g （x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，可得g′（x）＞0，求得k的取值范圍．
（2）由條件得到f （1）＜2，可得k＜2ln2＜3，猜測(cè)最大整數(shù)k=2，利用導(dǎo)數(shù)證明e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立，得到整數(shù)k的最大值為2．
（3）由（2）得到不等式 2-

3

x+1

＜ ln(x+1)，故有 ln[1+k(k+1)]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，故要證的不等式左邊＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+… +[2-

3

n(n+1)

]=2n- 3 +

3

n+1

＞2n-3．

解答：解：（1）設(shè)g(x)=

kx-1

x+1

?g′(x)=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

，因?yàn)間 （x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范圍為（-1，+∞）．
（2）由條件得到f （1）＜2?e

k-1

2

＜2?k＜2ln2+1＜3，猜測(cè)最大整數(shù)k=2，
現(xiàn)在證明e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立．
e

2x-1

x+1

＜x+1等價(jià)于 2-

3

x+1

＜ln(x+1)?ln(x+1)+

3

x+1

＞2，
設(shè)h(x)=ln(x+1)+

3

x+1

?h′(x)=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

，
故x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
所以對(duì)任意的x＞0都有h （x）≥h （2）=ln3+1＞2，即e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立，
所以整數(shù)k的最大值為2．                  
（3）由（2）得到不等式 2-

3

x+1

＜ ln(x+1)，∴ln[1+k(k+1)]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，
ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+…+[2-

3

n(n+1)

]＞2n-3(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)=2n-3+

3

n+1

＞2n-3，
所以原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，用放縮法證明不等式，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點(diǎn)．