Question

如圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD，AB距離分別為9m，3m．某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．線段MN必須過點P，端點M，N分別在邊AD，AB上，設(shè)AN=x（m），液晶廣告屏幕MNEF的面積為S（m²）．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最�。�

Answer 1

分析：（1）先用x表示出AM，再由MN²=AN²+AM²，用x表示出MN²．由此能夠求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域．
（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能夠求出當(dāng)當(dāng)x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最�。�

解答：解：（1）由題意，知AM=

3x

x-9

（10≤x≤30）． …（2分）
MN2=AN2+AM2=x2+

9x2

(x-9)2

． …（4分）
∵M(jìn)N：NE=16：9，∴NE=

9

16

MN．
∴S=MN•NE=

9

16

MN2=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]．…（6分）
定義域為[10，30]．…（7分）
（2）S′=

9

16

[2x+

18x(x-9)2-9x2(2x-18)

(x-9)4

]
=

9

8

×

x[(x-9)3-81]

(x-9)3

，…（9分）
令S'=0，得x=0（舍），x=9+3

3	3

．…（10分）
當(dāng)10≤x＜9+3

3	3

時，S'＜0，S關(guān)于x為減函數(shù)；
當(dāng)9+3

3	3

＜x≤30時，S'＞0，S關(guān)于x為增函數(shù)；
∴當(dāng)x=9+3

3	3

時，S取得最小值．                       …（13分）
答：當(dāng)AN長為9+3

3	3

m時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最�。�…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．