Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2 ．

（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）如果如果N是棱AB上一點，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC．因為在△ABC中，AB=AC=2， ，

所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC．

因為AB∥CD，所以AC⊥CD．

又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．

因為AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC．

（2）解：如圖，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），因為M是棱PD的中點，所以M（﹣1，1，1）．

所以 ，

設(shè) =（x，y，z）為平面MAB的法向量，

則 ，

令y=1，得平面MAB的法向量 =（0，1，﹣1），

因為N是在棱AB上一點，所以設(shè)N（x，0，0）， =（﹣x，2，0）．

因為直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，

設(shè)直線CN與平面MAB所成角為α，

則sinα=|cos＜ ＞|= = = ，

解得x=1，即AN=1，NB=1，所以 =1．

【解析】（1）連結(jié)AC，由勾股定理得AB⊥AC，從而AC⊥CD，由線面垂直得PA⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAC．（2）以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，利用向量法能求出 的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．