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        1. 已知拋物線x2=2py上點(diǎn)(2,2)處的切線經(jīng)過橢圓E:
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1(a>b>0)
          的兩個(gè)頂點(diǎn).
          (1)求橢圓E的方程;
          (2)過橢圓E的上頂點(diǎn)A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點(diǎn).請(qǐng)問:是否存在一點(diǎn)D,使得直線BC恒過該點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
          (3)在(2)的條件下,過點(diǎn)A作直線BC的垂線,垂足為H,求點(diǎn)H的軌跡方程.
          (1)將(2,2)代入x2=2py,得4=4p,所以p=1,故拋物線方程為x2=2y.
          y=
          1
          2
          x2

          y對(duì)x求導(dǎo)得y=x,所以拋物線x2=2y上點(diǎn)(2,2)處的切線的斜率為y|x=2=2.
          所以拋物線在點(diǎn)(2,2)處的切線方程為y-2=2(x-2),即y=2x-2.
          它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(1,0),(0,-2).
          由題意可知,a=2,b=1.
          所以橢圓E的方程分別為
          y2
          4
          +x2=1

          (2)假設(shè)直線BC恒過定點(diǎn)D.
          設(shè)直線AB的斜率kAB=k1,直線AC的斜率kAC=k2,則k1k2=-4.
          從而直線AB的方程為y=k1x+2.
          聯(lián)立
          y2
          4
          +x2=1
          y=k1x+2
          ,整理得(k12+4)x•(x+
          4k1
          k12+4
          )=0

          從而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB=-
          4k1
          k12+4
          ,yB=k1•(-
          4k1
          k12+4
          )+2=
          2(4-k12)
          k12+4

          所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-
          4k1
          k12+4
          2(4-k12)
          k12+4
          )

          同理點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-
          4k2
          k22+4
          ,
          2(4-k22)
          k22+4
          )

          于是,xB=-
          4k1
          k12-k1k2
          =
          4
          k2-k1
          ,yB=
          2(-k1k2-k12)
          k12-k1k2
          =
          2(k2+k1)
          k2-k1

          xC=-
          4k2
          k22-k1k2
          =
          4
          k1-k2
          yC=
          2(-k1k2-k22)
          k22-k1k2
          =
          2(k1+k2)
          k1-k2

          所以點(diǎn)B,C均在直線y=
          k1+k2
          2
          x
          上.
          而兩點(diǎn)確定一條直線,所以直線BC的方程為y=
          k1+k2
          2
          x
          ,即y=
          k12-4
          2k1
          x

          所以BC恒過定點(diǎn)D(0,0);
          (3)設(shè)H(x,y),由(2)知,∠AHO=90°,
          所以
          AH
          OH
          =0

          又因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >
          AH
          =(x,y-2),
          OH
          =(x,y),
          所以有x2+y(y-2)=0,即x2+(y-1)2=1.
          所以H的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(去掉點(diǎn)(0,2)).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過拋物線上點(diǎn)M(-2
          p
          ,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)N.
          (I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
          (II)若直線AB的斜率為
          p
          ,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2007•廣州模擬)已知拋物線x2=2py(p>0),過動(dòng)點(diǎn)M(0,a),且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p,
          (1)求a的取值范圍;
          (2)若p=2,a=3,求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2010-2011學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:013

          已知拋物線x2=2py(p>0),過點(diǎn)向拋物線引兩條切線,A、B為切點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)度是

          [  ]
          A.

          2p

          B.

          p

          C.

          D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東省廣州市2007年高三年級(jí)六校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試卷 題型:044

          已知拋物線x2=2py(p>0),過動(dòng)點(diǎn)M(0,a),且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p,

          (1)求a的取值范圍;

          (2)若p=2,a=3,求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積;

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省名校高考信息卷一(理) 題型:選擇題

           已知拋物線x2 = 2py (p > 0),過點(diǎn)M (0 , - )向拋物線引兩條切線,A、B為切點(diǎn),則線段

          AB的長(zhǎng)度是

          A.2p

          B.p

          C.

          D.

           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案