Question

已知橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的離心率為，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當k₁=1時，求S_△AOB的值；
（Ⅲ）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k₂，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，得，解得，由此能求出橢圓Γ的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），故直線AB的方程為y=x+2，由，得14x²+36x-9=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，由此能求出S_△AOB．
（Ⅲ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由直線AR的方程為y=（x-1），由，得y²+y-4=0．由此能為定值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得解得
∴b²=a²-c²=5，
故橢圓Γ的方程為+=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直線AB的方程為y=x+2，
由消去y并整理，得14x²+36x-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
∴|AB|=|x₁-x₂|=•=．
設O點到直線AB的距離為d，則d==．
∴S_△AOB=|AB|•d=××=．…（8分）
（Ⅲ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直線AR的方程為y=（x-1），即x=y+1．
由消去x并整理，得y²+y-4=0．
則y₁y₃=-，∵y₁≠0，∴y₃=，
∴x₃=y₃+1=•+1=．
∴C（，）．同理D（，）．
∴k₂==
=．
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂===
∴=為定值．…（14分）
點評：本題考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．