Question

在一批10件產品中，有3件是次品，7件是合格品.現從中一件一件地抽取產品，設各件產品被抽到的可能性相同，在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需要抽取次數ξ的分布列：

（1）每次取出的產品都不放回此批產品中；

（2）每次取出的產品若是次品，則放回此批產品中，然后再取出一件產品；

（3）每次取出一件產品后，另以一件合格品放回此批產品中.

Answer 1

解析：（1）ξ的取值為1，2，3，4.

當ξ=1時，即只取一次就取到合格品，故P（ξ=1）=.

當ξ=2時，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×=.

類似地，有

P（ξ=3）=××=,

P(ξ=4)= ×××=.

所以ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4
P

（2）ξ的取值為1，2，3，…，n，….

當ξ=1時，即第一次就取到合格品，故

P（ξ=1）==0.7.

當ξ=2時，即第一次取到次品，第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×=0.3×0.7.

當ξ=3時，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故

P（ξ=3）=××=(0.3)²×0.7.

依此類推，當ξ=n時，前n-1次均取到次品，而第n次取到正品，故

P（ξ=3）=（0.3）^n-1×0.7(n=1,2,3, …).

因此ξ的分布列為

ξ	1	2	3	…	n	…
P	0.7	0.7×0.3	0.7×0.32	…	0.7×0.3n-1	…

(3)ξ的值為1，2，3，4.

當ξ=1時，即第一次就取到合格品，故

P（ξ=1）=.

當ξ=2時，即第一次取出一件次品，另以一件合格品放回此批產品中，再第二次取到合格品，故

P（ξ=2）=×.

類似地，

P（ξ=3）=××，

P（ξ=4）=×××.

因此ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	0.7	0.24	0.054	0.006