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        1. 【題目】已知函數(shù) (x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N*.

          (1)求的值;

          (2)證明:對任意的n∈N*,等式都成立.

          【答案】(1);(2)見解析

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為: 然后兩邊求導(dǎo)后根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得: ,把 代入式子求值;
          (2)由(1)得, ,利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導(dǎo),并利用誘導(dǎo)公式對所得式子進行化簡、歸納,再進行猜想得到等式,用數(shù)學(xué)歸納法進行證明等式成立.

          試題解析:(1)解 由已知,得f1(x)=f0(x)=′=,于是f2(x)=f1(x)=′-′=-,所以f1=-,f2=-

          故2f1f2=-1.

          (2)證明 由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對x求導(dǎo),得f0(x)+xf0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,類似可得

          2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),

          3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,

          4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin.

          下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)

          =sin對所有的n∈N*都成立.

          (ⅰ)當n=1時,由上可知等式成立.

          (ⅱ)假設(shè)當nk時等式成立,

          kfk-1(x)+xfk(x)=sin.

          因為[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1(x)+fk(x)+xfk(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),

          ′=cos·′=sin

          所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.

          因此當nk+1時,等式也成立.

          綜合(ⅰ),(ⅱ)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)

          =sin對所有的n∈N*都成立.

          x,可得nfn-1fn

          =sin (n∈N*).

          所以 (n∈N*).

          練習(xí)冊系列答案
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          【題目】已知橢圓的離心率為,拋物線的準線被橢圓截得的線段長為

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          (1)處取得極值,求的值;

          (2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;

          (3)時,若存在正實數(shù)滿足,求證:.

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          【題目】設(shè)n∈N*,f(n)=3n+7n-2.

          (1)求f(1),f(2),f(3)的值;

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          【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,數(shù)列滿足,且.

          1)求數(shù)列,的通項公式;

          2)若,數(shù)列的前項和為,若不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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          【題目】如圖,在正四棱錐中,底邊,側(cè)棱 為側(cè)棱上的點.

          (1)若平面,求二面角的余弦值的大小;

          (2)若,側(cè)棱上是否存在一點,使得平面,若存在,求的值;若不存在,試說明理由.

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          【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都為50%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員四次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2,3,4表示命中,5,6,7,8 9表示不命中;再以每四個隨機數(shù)為一組,代表四次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989

          據(jù)此估計,該運動員四次投籃恰有兩次命中的概率為____

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          直角三角形

          直角四面體

          條件

          結(jié)論1

          結(jié)論2

          結(jié)論3

          結(jié)論4

          結(jié)論5

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          (1)求(RA)∩B;

          (2)若集合C={x|a<x<2a+1}且CA,求a的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案