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        1. 設A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
          3
          2
          -
          2
          2x+
          2
          圖象上任意兩點,且x1+x2=1.
          (Ⅰ)求y1+y2的值;
          (Ⅱ)若Tn=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n
          n
          )
          (其中n∈N*),求Tn;
          (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設an=
          2
          Tn
          (n∈N*),若不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1>loga(1-2a)對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
          (Ⅰ)∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
          3
          2
          -
          2
          2x+
          2
          圖象上任意兩點,且x1+x2=1.
          y1+y2=
          3
          2
          -
          2
          2x1+
          2
          +
          3
          2
          -
          2
          2x2+
          2

          =3-(
          2
          2x1+
          2
          +
          2
          2x2+
          2
          )
          =3-
          4+
          2
          (2x1+2x2)
          2x1+x2+
          2
          (2x1+2x2)+2
          =3-
          4+
          2
          (2x1+2x2)
          2+
          2
          (2x1+2x2)+2
          =2.(4分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,當x1+x2=1時,y1+y2=2,
          Tn=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n
          n
          )
          得,Tn=f(
          n
          n
          )+…+f(
          2
          n
          )+f(
          1
          n
          )+f(0)
          ,
          2Tn=[f(0)+f(
          n
          n
          )]+[f(
          1
          n
          )+f(
          n-1
          n
          )]+…+[f(
          n
          n
          )+f(0)]=2(n+1)

          ∴Tn=n+1.(8分)
          (Ⅲ)由(Ⅱ)得,an=
          2
          Tn
          =
          2
          n+1
          ,不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1>loga(1-2a)即為
          2
          n+1
          +
          2
          n+2
          +…+
          2
          2n
          >loga(1-2a)
          ,
          設Hn=
          2
          n+1
          +
          2
          n+2
          +…+
          2
          2n
          ,
          則 Hn+1=
          2
          n+2
          +
          2
          n+3
          +…+
          2
          2n
          +
          2
          2n+1
          +
          2
          2n+2
          ,
          Hn+1-Hn=
          2
          2n+1
          +
          2
          2(n+1)
          -
          2
          n+1
          =
          2
          2n+1
          -
          2
          2n+2
          >0

          ∴數(shù)列{Hn}是單調遞增數(shù)列,
          ∴(Hnmin=T1=1,(10分)
          要使不等式恒成立,只需loga(1-2a)<1,
          即loga(1-2a)<logaa,
          0<a<1
          1-2a>0
          1-2a>a
          a>1
          1-2a>0
          1-2a<a

          解得0<a<
          1
          3

          故使不等式對于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍是(0,
          1
          3
          )
          .(12分)
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線l過點F交拋物線C于A、B兩點.
          (Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),求
          1
          y1
          +
          1
          y2
          的取值范圍;
          (Ⅱ)是否存在定點Q,使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF?證明你的結論.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
          1
          2
          +log2
          x
          1-x
          的圖象上兩點,且
          OM
          =
          1
          2
          (
          OA
          +
          OB
          )
          ,O為坐標原點,已知點M的橫坐標為
          1
          2

          (Ⅰ)求證:點M的縱坐標為定值;
          (Ⅱ)定義定義Sn=
          n-1
          i=1
          f(
          i
          n
          )=f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )
          ,其中n∈N*且n≥2,求S2011
          (Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,設an=
          1
          2Sn+1
          (n∈N*)
          .若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1(a>b>0)
          上的兩點,已知O為坐標原點,橢圓的離心率e=
          3
          2
          ,短軸長為2,且
          m
          =(
          x1
          b
          ,
          y1
          a
          ),
          n
          =(
          x2
          b
          y2
          a
          )
          ,若
          m
          n
          =0

          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
          1
          2
          +log2
          x
          1-x
          圖象上任意兩點,且
          OM
          =
          1
          2
          OA
          +
          OB
          ),已知點M的橫坐標為
          1
          2
          ,且有Sn=f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          ),其中n∈N*且n≥2,
          (1)求點M的縱坐標值;
          (2)求s2,s3,s4及Sn;
          (3)已知an=
          1
          (Sn+1)(Sn+1+1)
          ,其中n∈N*,且Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數(shù)值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個動點,其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形.
          (1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
          x2-x1x3-x2
          ;
          (2)求A、C兩點之間距離的最小值.

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