Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，在線段AC上是否存在一點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．（參考公式：棱錐的體積公式V=

1

3

Sh，其中S表示底面積，h表示棱錐的高）

Answer 1

分析：（I）由∠PAB=∠PAC=90°，可得PA⊥AB，PA⊥AC．進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABC，進(jìn)而B(niǎo)C⊥PA，再由∠ACB=90°及線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理可得平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，即PA是三棱錐P-ABC的高．求出滿足條件三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)∠ABC的大小，以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)線段AC上的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（t，0，0），進(jìn)而求出滿足條件的t值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，
∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC
∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，PA，CA?平面PAC
∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
∴PA是三棱錐P-ABC的高．
∵PA=1，AB=2，∠ACB=90°，
設(shè)∠ABC=θ(0＜θ＜

π

2

)，
則BC=ABcosθ=2cosθ，AC=ABsinθ=2sinθ．
S△ABC=

1

2

×2cosθ×2sinθ=sin2θ，
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

sin2θ------（6分）
∴當(dāng)θ=

π

4

，V_P-ABC有最大值

1

3

，
此時(shí)BC=2cos

π

4

=

2

．------------（7分）
以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則

CB

=(0，

2

，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，

則

CB • n =0 CP • n =0

⇒

2 •y=0 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，------------（9分）
設(shè)線段AC上的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（t，0，0），
則

BD

=(t，-

2

，0)(0≤t≤

2

)，
∵sin30°=

| n • BD|

| n |•| BD|

=

t

3 • t2+2

，
解得t=

6

∉[0，

2

]，------------（11分）
∴在線段AC上不存在點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，難度中檔．