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          如圖，在直三棱柱中，，，為棱 上的一點，分別為、的重心．
          （1）求證：；
          （2）若二面角的正切值為，求兩個半平面、所成銳二面角的余弦值；
          （可選）若點在平面的射影正好為,試判斷在平面的射影是否為．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）證明：設(shè)的中點分別為
          分別是的重心
          三點共線，且
          三點共線，且

          在矩形中顯然有
          ;
          （2）方法一：因為在之三棱柱中，由于，所以兩兩垂直故可以建立以為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，則有：，

          可設(shè)點的坐標(biāo)為，面的法向量為，

          可以取
          顯然面的法向量為
          由二面角的正切值為，則易求得求二面角的余弦值為
          .
          即點為的中點；
          同理可求得面的法向量
          故
          兩個半平面、所成銳二面角的余弦值．
          方法二：連接，則在等腰中，
          又易證：

          為二面角的平面角
          在中，,而在三角形中易求得
          ，即得到點是的中點
          以下解法同解法一.
          

          解析
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA1=
          		2
          ，M為A1B1的中點，則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2013屆廣東省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在直三棱柱中， AB=1，，
          


          ∠ABC=60.
          


          (1)證明：；
          


          （2）求二面角A——B的正切值。
          


          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年天津市高三第二次月考文科數(shù)學(xué)
				題型：解答題
			
          

						
          （本小題滿分13分）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點，四邊形是邊長為的正方形．
          


          （Ⅰ）求證：平面；
          


          （Ⅱ）求證：平面；
          


          （Ⅲ）求二面角的余弦值．
          


           
          


          


           
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年四川省高三2月月考理科數(shù)學(xué)
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．
          


          （Ⅰ）求證：∥平面；
          


          （Ⅱ）求二面角的余弦值；
          


          （Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．
          


           
          


          


           
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2013屆云南省高二9月月考數(shù)學(xué)試卷
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在直三棱柱中，，點是的中點.
          


          求證：（1）；（2）平面.
          


           
          


          


           
          


           
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案