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        1. 已知y=f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上為增函數(shù),

          (1)求證:函數(shù)在(-∞,0)上也是增函數(shù);

          (2)如果f()=1,解不等式-1<f(2x+1)≤0.

          解析:證明函數(shù)的單調(diào)性,通常利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明;對抽象不等式,常把常數(shù)看成某些變量的函數(shù)值,再利用函數(shù)的性質(zhì)去“外層包裝”,取出x,化成一元一次或二次不等式求解.

          (1)證明:設(shè)x1、x2是(-∞,0]上任意兩個不相等的實數(shù),且x1<x2,

          則-x1,-x2∈[0,+∞),且-x1>-x2,Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1).

          ∵f(x)是奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),-x1>-x2,

          ∴f(-x1)>f(-x2).

          又∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x1)=-f(x1),

          f(-x2)=-f(x2).

          ∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2),

          即Δy=f(x2)-f(x1)>0.

          ∴函數(shù)f(x)在(-∞,0]上也是增函數(shù).

          (2)解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),

          ∴f(0)=0,f(-)=-f()=-1.

          由-1<f(2x+1)≤0,得f(-)<f(2x+1)≤f(0).

          又∵f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),∴-<2x+1≤0,

          得-<x≤-.

          ∴不等式的解集為{x|-<x≤-}.


          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
          a
          x
          的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
          2
          2
          .設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
          (1)求a的值.
          (2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
          (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2x+
          5x
          的定義域為(0,+∞).設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=2x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
          (1)|PM|•|PN|是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由;
          (2)設(shè)點O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x+
          ax
          的定義域為(0,+∞),a>0且當(dāng)x=1時取得最小值,設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
          (1)求a的值;
          (2)問:PM•PN是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,請說明理由;
          (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
          π
          6
          ),g(x)=sin(2x+
          π
          3
          ),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
          (1)求a的取值范圍;
          (2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
          (。┳C明:a=b;
          (ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案