Question

【題目】已知P是圓A：上任意一點(diǎn)，B的坐標(biāo)為，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）若直線不經(jīng)過點(diǎn)與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且直線TM，TN的斜率之和為2，求證：直線l過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，結(jié)合橢圓定義即可求解

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及直線，的斜率之和為2可得，進(jìn)而表示的方程，可證．

解：（Ⅰ）由已知，

所以點(diǎn)Q軌跡為以為A，B焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

故，

所以曲線C的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為（），

代入整理得，

由題設(shè)可知，

設(shè)，則.

直線TM，TN的斜率之和為：

，

由已知得，即，

由，得或時(shí)滿足條件，

此時(shí)直線l的方程為，故直線過定點(diǎn).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)，

滿足條件.

綜上，直線l過定點(diǎn).