Question

f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時，y=f（x）=cosx，當(dāng)x∈（π，2π]時，f（x）的圖象是斜率為

2

π

，在y軸上截距為-2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分．
（1）求f（-2π），f（-

π

3

）；
（2）求f（x），并作出圖象，寫出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求得x∈（π，2π]時函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得f（2π）的值，然后利用函數(shù)的奇偶性求得f（-2π）的值．利用函數(shù)f（x）在∈[0，π]時的解析式求得f（

π

3

）的值，然后利用函數(shù)的奇偶性求得f（-

π

3

）的值．
（2）根據(jù)（1）可知函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用直線方程和余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)x∈（π，2π]時，y=f（x）=

2

π

x-2，
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-2π）=f（2π）=2．
又x∈[0，π]時，y=f（x）=cosx，
∴f（-

π

3

）=f（

π

3

）=

1

2

．

（2）y=f（x）=

- 2 π x-2    x∈[-2π，-π)  cosx，x∈[-π，π] 2 π x-2      x∈(π，2π]

當(dāng)x∈（π，2π]時，根據(jù)直線方程的單調(diào)性可知其為減函數(shù)；
當(dāng)x∈[0，π]時，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知為減函數(shù)；
當(dāng)x∈[-π，0]時，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)
當(dāng)x∈[π，2π]時，函數(shù)的圖象為直線，斜率大于0，可知為增函數(shù)．
故調(diào)區(qū)間為[-2π，-π），[0，π），[-π，0]，[π，2π]．

點評：本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，以及分段函數(shù)的問題．注重了“雙基”能力的考查．