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        1. 已知函數(shù)f(x)=kx+m,當x∈[a1,b1]時,f(x)的值域為[a2,b2],當x∈[a2,b2]時,f(x)的值域為[a3,b3],依此類推,一般地,當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)的值域為[an,bn],其中k、m為常數(shù),且a1=0,b1=1.
          (1)若k=1,求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
          (2)若m=2,問是否存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
          limn→∞
          bn=4?
          若存在,求k的值;若不存在,請說明理由;
          (3)若k<0,設數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,求T2010-S2010
          分析:(1)因為f(x)=x+m,當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調增函數(shù),所以其值域為[an-1+m,bn-1+m],由此能求出an和bn
          (2)因為f(x)=x+mf(x)=kx+m(k>0),當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調增函數(shù).所以f(x)的值域為[kan-1+m,kbn-1+m],因m=2,則bn=kbn-1+2(n≥2).
          法一:假設存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
          lim
          n→∞
          bn=4,則
          lim
          n→∞
          bn=k
          lim
          n→∞
          bn-1+2
          ,由此能求出k的值.
          法二:假設存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
          lim
          n→∞
          bn=4
          .當k=1不符合.當k≠1時bn=(1+
          2
          k-1
          )kn-1-
          2
          k-1
          ,由此能求出k的值.
          (3)因為k<0,當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調減函數(shù),所以f(x)的值域為[kbn-1+m,kan-1+m].由此入手,能求出T2010-S2010
          解答:解:(1)因為f(x)=x+m,當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調增函數(shù),
          所以其值域為[an-1+m,bn-1+m]…(2分)
          于是an=an-1+m,bn=bn-1+m(n∈N*,n≥2)…(4分)
          又a1=0,b1=1,所以an=(n-1)m,bn=1+(n-1)m.…(6分)
          (2)因為f(x)=x+mf(x)=kx+m(k>0),當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調增函數(shù)
          所以f(x)的值域為[kan-1+m,kbn-1+m],因m=2,則bn=kbn-1+2(n≥2)…(8分)
          法一:假設存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
          lim
          n→∞
          bn=4,則
          lim
          n→∞
          bn=k
          lim
          n→∞
          bn-1+2
          ,得4=4k+2,則k=
          1
          2
          符合.…(12分)
          法二:假設存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
          lim
          n→∞
          bn=4

          當k=1不符合.…(9分)
          k≠1時,bn=kbn-1+2(n≥2)?bn+
          2
          k-1
          =k(bn-1+
          2
          k-1
          )(n≥2)
          ,
          bn=(1+
          2
          k-1
          )kn-1-
          2
          k-1
          ,…(11分)
          0<k<1時,
          lim
          n→∞
          bn=
          2
          1-k
          =4,得k=
          1
          2
          符合
          .…(12分)
          (3)因為k<0,當x∈[an-1,bn-1]時,f(x)為單調減函數(shù),
          所以f(x)的值域為[kbn-1+m,kan-1+m]…(14分)
          于是an=kbn-1+m,bn=kan-1+m(n∈N*,n≥2)
          則bn-an=-k(bn-1-an-1)…(16分)
          又b1-a1=1
          則有T2010-S2010=
          2010,(k=-1)
          1-k2010
          1+k)
          ,(k<0,k≠-1)
          …(18分)
          點評:本題考查數(shù)列的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.注意極限和分類討論思想的靈活運用.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
          (Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
          (Ⅱ)當k=4時,若對?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數(shù)b的取值范圍..

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          k+1x
          (k<0),求使得f(x+k)>1成立的x的集合.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=k•a-x(k,a為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象過點A(0,1),B(3,8).
          (1)求實數(shù)k,a的值;
          (2)若函數(shù)g(x)=
          f(x)-1f(x)+1
          ,試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•蕪湖二模)給出以下五個命題:
          ①命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“?x∈R,x2+x+1<0”.
          ②已知函數(shù)f(x)=k•cosx的圖象經過點P(
          π
          3
          ,1),則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
          3

          ③a=1是直線y=ax+1和直線y=(a-2)x-1垂直的充要條件.
          ④函數(shù)f(x)=(
          1
          2
          )x-x
          1
          3
          在區(qū)間(0,1)上存在零點.
          ⑤已知向量
          a
          =(1,-2)
          與向量
          b
          =(1,m)
          的夾角為銳角,那么實數(shù)m的取值范圍是(-∞,
          1
          2

          其中正確命題的序號是
          ②③④
          ②③④

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
          (Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,試將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
          (Ⅱ)當k=4時,若對任意的x1∈(1,+∞),存在x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數(shù)b的取值范圍..

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          同步練習冊答案