Question

【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)E，F分別為BC，PD的中點(diǎn)，直線PC與平面AEF交于點(diǎn)Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得.（2）先根據(jù)四點(diǎn)共面，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，求得，也即求得位置.建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因?yàn)?/span>平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：連接PE.

因?yàn)?/span>，

所以，

則

設(shè)，則.

因?yàn)?/span>A，E，Q，F四點(diǎn)共面，

所以，解得，則.

取AD的中點(diǎn)O，連接OC，OP，由題意可得OC，OD，OP兩兩垂直

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，.

所以，.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，

則，令，得，即，

所以，

所以.