Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足，且b_n=ln（1+a_n），n∈N*．
（1）證明：；
（2）記{a_n²}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n，B_n，證明：2B_n-A_n＜8．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先證明，由題意易知a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*），故只要證b_n-a_n＞0即可，
結(jié)合題目條件可利用構(gòu)造函數(shù)證明．，也可構(gòu)造函數(shù)證明．
（2）由條件可得，可求出a_n用錯(cuò)位相減法求出A_n，再結(jié)合（1）中的關(guān)系比較大小即可．
解答：解：（1）由知，a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*）．，（2分）
設(shè)函數(shù)，則當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，即b_n-a_n＞0，∴
∵．
設(shè)函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），則當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴g（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，故g（x）＜g（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+a_n）-a_n＜0
綜上得：
（2）由得：，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴，
∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（1）的結(jié)論有l(wèi)n（1+a_n）＜a_n，
∴2b_n-a_n²＜2a_n，
∴．
令S_n=，則，相減得：，
∴，（13分）
∴
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：利用函數(shù)單調(diào)性證明數(shù)列不等式，構(gòu)造函數(shù)需要較強(qiáng)的觀察能力，難度較大，綜合性強(qiáng)．