Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+

2

與橢圓C交于A、B兩點，求K的取值范圍；
（3）若以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

，可求橢圓C的方程；
（2）將直線y=kx+

2

代入橢圓C的方程

x2

3

+y2=1，可得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，根據(jù)直線y=kx+

2

與橢圓C交于A、B兩點，可得

1+3k2≠0 △=(6 2 k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

，從而可求k的取值范圍．
（3）以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，則點O在圓外．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韋達定理，由此可求k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

．
∴

c a = 6 3 a= 3

，∴c=

2

，∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）將直線y=kx+

2

代入橢圓C的方程

x2

3

+y2=1，可得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0
∵直線y=kx+

2

與橢圓C交于A、B兩點
∴

1+3k2≠0 △=(6 2 k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

∴k2＞

1

3

∴k＞

3

3

或k＜-

3

3

；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵x1+x2=

-6 2 k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)
=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2
=(k2+1)×

3

1+3k2

+

2

k×

-6 2 k

1+3k2

+2=

5-3k2

1+3k2

＞0
∴5-3k²＞0
∵k2＞

1

3

∴

1

3

 ＜k2＜

5

3

∴

3

3

＜k＜

15

3

或

- 15

3

＜k＜-

3

3

點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是將以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，轉(zhuǎn)化為點O在圓外