Question

如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且，點C為圓O上一點，且．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（1）求證：CD⊥平面PAB；
（2）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

解：（1）∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，
∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，
∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，，
由余弦定理，得△BCD中，CD²=DB²+BC²-2DB•BCcos30°=3，
∴CD²+DB²=12=BC²，可得CD⊥AO．
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，即PD⊥平面ABC，
又∵CD?平面ABC，∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．
（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，，
∴．
又∵，，，
∴△PBC為等腰三角形，可得．
設(shè)點D到平面PBC的距離為d，由V_P-BDC=V_D-PBC，得
，解之得．
分析：（1）由AB是圓的直徑，得到AC⊥CB，結(jié)合BC=AC算出∠ABC=30°，進而得到．△BCD中用余弦定理算出CD長，從而CD²+DB²=BC²，可得CD⊥AO．再根據(jù)PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證出CD⊥平面PAB；
（2）根據(jù)（1）中計算的結(jié)果，利用錐體體積公式算出，而V_P-BDC=V_D-PDC，由此設(shè)點D到平面PBC的距離為d，可得，結(jié)合△PBC的面積可算出點D到平面PBC的距離．
點評：本題給出底面△ABC在外接圓中的三棱錐，求證線面垂直并求點到平面的距離，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體體積公式和點面距離的求法等知識，屬于中檔題．