Question

【題目】已知橢圓，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）斜率為的直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于點(diǎn)，試探究是否為定值，如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，

【解析】

(1)已知為橢圓上一點(diǎn)，可代入橢圓方程，結(jié)合離心率和，求出，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線斜率時(shí)得出定值，時(shí)設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式求出，再得出的中點(diǎn)坐標(biāo)和線段的中垂線方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出,求得為定值.

（1）解得

∴橢圓方程為

（2）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，假設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，把直線代入橢圓方程中得：

，顯然恒成立

則線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，

線段的中垂線方程為，即

令，則，

∴

綜上所述，（定值）