Question

在棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=1，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2，則異面直線DE與CF的夾角的余弦為    ．

Answer 1

【答案】分析：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=，由于，可得MF∥ED，則∠CFM或其補(bǔ)角，即為異面直線DE與CF的夾角．利用余弦定理求得CF²、MF²、CM² 的值，再在△CFM中，利用余弦定理求得cos∠CFM 得值，再取絕對(duì)值，即得所求．
解答：解：∵在棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=1，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2，
在AB上取一點(diǎn)M，使AM=，如圖所示：
由于，∴MF∥ED，則∠CFM或其補(bǔ)角，即為異面直線DE與CF的夾角．
△CDF中，由余弦定理可得 CF²=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM²=9+-2×3××cos60°=，
△AMF中，由余弦定理可得 MF²=+1-2××1×cos60°=．
在△CFM中，由余弦定理可得CM²==7+-2×××cos∠CFM，解得cos∠CFM=-，
故異面直線DE與CF的夾角的余弦為 ，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．