Question

9、已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；②對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，則f（4.5），f（6.5），f（7）的大小關(guān)系是

f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）

．

Answer 1

分析：對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），得到函數(shù)是一個周期函數(shù)T=4，對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），得到函數(shù)在[0，2]上是一個遞增函數(shù)，根據(jù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，得到f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱．

解答：解：∵對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴函數(shù)是一個周期函數(shù)T=4，
∵對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)在[0，2]上是一個遞增函數(shù)，
∵f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，
f（4.5）=f（1.5）
f（6.5）=f（2.5）=f（2）
f（7）=f（3）=f（1）
∵函數(shù)在[0，2]上是一個遞增函數(shù)，
∴f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
故答案為：f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）．

點評：本題考查函數(shù)的周期性和函數(shù)的單調(diào)性，是一個關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合題目，解題的關(guān)鍵是把幾個函數(shù)的自變量通過變化，放到同一個單調(diào)區(qū)間上．