Question

橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），P為橢圓上一點(diǎn)，OP，F(xiàn)₂P的斜率分別為和．
（1）求證：；
（2）若△OPF₁的面積為3，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一 依題意，令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，則．所以γ=2α=α+β，α=β．OP=OF₂=OF₁，θ+β=90°，由此能證明．
解法二 設(shè) P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意，得，．所以由此能夠證明．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，所以，由此能求出橢圓方程．
解答：解：（1）解法一 依題意，
令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，
則．
∴γ=2α=α+β，
∴α=β．
∴OP=OF₂=OF₁，
θ+β=90°，
所以．
解法二 設(shè) P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意，得，①
． ②
由①、②，可知
∴．
∴，
∴PF₁⊥PF₂，
∴．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，
∴，
所以m=1，2a=7，2c=5，
∴b²=6．
所以橢圓方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．