Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

． 
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求幾何體E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由等腰三角形三線合一，可得AO⊥BD，CO⊥BD，再勾股定理可得AO⊥OC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到AO⊥平面BCD；
（2）根據(jù)等積法可得V_E-ACD=V_A-CDE，結合（1）中結論，可得AO即為棱錐的高，代入棱錐的體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）連接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．…（2分）
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．…（5分）
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC?平面BCD
∴AO⊥平面BCD…（7分）
解：（2）∵V_E-ACD=V_A-CDE，
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，…（12分）
∴VE-ACD=VA-ECD=

1

3

AO．S△CDE═

3

6

．…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間直線與直線垂直與直線與平面垂直相互之間的轉化關系是解答的關鍵．