Question

 19（本小題滿分14分）已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)   不存在

解析:

（1）∵，∴．令，得．

①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無最小值．

②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．

③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

（2）∵，，∴

．由（1）可知，當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)在區(qū)間上的最小值為，即．

當(dāng)，，，∴．

曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解． 而，即方程無實(shí)數(shù)解． 故不存在，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．