Question

若任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立，則稱f（x） 是[a，b]上的凸函數．試問：在下列圖象中，是凸函數圖象的為（　�。�

A．

B．α

C．

D．

Answer 1

分析：由已知中凸函數的定義，結合四個答案中的圖象，逐一分析任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂時，f（

x1+x2

2

）與

f(x1)+f(x2)

2

大小關系，比照定義可得答案．

解答：解：∵任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴函數f（x）是[a，b]上的凸函數
任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，
則A中，f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

成立，故A不滿足要求；
則B中，f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

成立，故B不滿足要求；
則C中，f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立，故C滿足要求；
則D中，f（

x1+x2

2

）與

f(x1)+f(x2)

2

大小不確定，故D不滿足要求；
故選C

點評：本題考查的知識點是函數的圖象與圖象變化，其中正確理解已知中凸函數的定義，是解答本題的關鍵．