Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足an+1=

1 2 an an+1

 

n為偶數(shù) n為奇數(shù)

，a4=

5

2

，若b_n=a_2n-1-1（b_n≠0）．
（1）求a₁； 
（2）求證：{b_n}是等比數(shù)列； 
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_2n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a4=

5

2

，an+1=

1 2 an an+1

 

n為偶數(shù) n為奇數(shù)

，反過來推a₃，然后推a₂，再推出a₁的值；
（2）根據(jù)b_n=a_2n-1-1，以及an+1=

1 2 an an+1

 

n為偶數(shù) n為奇數(shù)

，證明

bn

bn-1

是常數(shù)，從而可證明{b_n}是等比數(shù)列； 
（3）由（2）可求得a_2n-1的通項(xiàng)，從而可求出奇數(shù)項(xiàng)的和，然后根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，從而可求出S_2n．

解答：解：（1）∵a4=

5

2

，an+1=

1 2 an an+1

 

n為偶數(shù) n為奇數(shù)

，
∴a₃=

5

2

-1=

3

2

，∴a₂=3，∴a₁=2；
（2）證明：∵b_n=a_2n-1-1，
∴

bn

bn-1

=

a2n-1-1

a2n-3-1

=

1 2 a2n-2-1

a2n-1-1-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列；
（3）∵b_n=a_2n-1-1，
∴a_2n-1-1=（a₁-1）×(

1

2

)n-1即a_2n-1=(

1

2

)n-1+1，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=

1•(1- 1 2n )

1- 1 2

+n=2-

1

2n-1

+n，
又∵a₂=a₁+1，a₄=a₃+1，…a_2n=a_2n-1+1，
∴S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）+n=4-

1

2n-2

+3n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及等比數(shù)列的判斷和數(shù)列的求和，同時(shí)考查了分析問題的能力和轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．