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        1. (2009•襄陽模擬)己知a≠0,函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x-1,二次函數(shù)g(x)=ax2-x-1.
          (1)若a<0,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當函數(shù)y=g(x)存在最大值且y=f(x)與y=g(x)的圖象只有一個公共點時,記y=g(x)的最大值為h(a),求函數(shù)h(a)的解析式;
          (3)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(a-2,a)內(nèi)均為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)先求出導函數(shù)f′(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)根據(jù)函數(shù)y=f(x)與g(x)的圖象只有一個公共點,可求出a的范圍,根據(jù)a的范圍求出y=g(x)在區(qū)間[-1,0)上的最小值為h(a)即可.
          (3)討論a的正負,根據(jù)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是區(qū)間 (a-2,a)的子集建立方程組,解之即可;
          解答:(1)解:f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
          a
          3
          )(x+a)
          ∵a<0,
          a
          3
          <-a
          故函數(shù)f (x)在區(qū)間(-∞,
          a
          3
          )、(-a,+∞)上單調(diào)遞增,在(
          a
          3
          ,-a)上單調(diào)遞減(4分)
          (2)解:∵二次函數(shù)g(x)=ax2-x-1有最大值,
          ∴a<0(5分)
          由f(x)=g(x)得:x(x2-a2+1)=0(6分)
          ∵函數(shù)y=f(x)與g(x)的圖象只有一個公共點,
          ∴-a2+1≥0得-1≤a≤1,又a<0,
          ∴-1≤a<0(8分)
          又g(x)=a(x-
          1
          2a
          )
          2
          -
          1
          4a
          -1,
          ∴h(a)=-
          1
          4a
          -1(-1≤a<0)(10分)
          (3)解:當a<0時,函數(shù)f (x)在區(qū)間(-∞,
          a
          3
          )、(-a,+∞)上單調(diào)遞增,
          函數(shù)g (x)在區(qū)間(-∞,
          1
          2a
          )上單調(diào)遞增
          a≤
          a
          3
          a≤
          1
          2a
          得a≤-
          2
          2
          (12分)
          當a>0時,函數(shù)f (x)在區(qū)間(-∞,-a)、(
          a
          3
          ,+∞)上單調(diào)遞增,
          函數(shù)g (x)在區(qū)間(
          1
          2a
          ,+∞)上單調(diào)遞增
          a-2≥
          a
          3
          a-2≥
          1
          2a
          得a≥3
          綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-
          2
          2
          ]∪[3,+∞)(13分)
          點評:本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系,即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減,以及圖象交點的問題,常常轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù),屬于中檔題.
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          (2)設f(n)=
          4
          9an+12
          ,求f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n
          n
          );
          (3)證明:
          a2
          (a2-4)(a3-4)
          +
          a3
          (a3-4)(a4-4)
          +…+
          an
          (an-4)(an+1-4)
          1
          256
          (1-
          1
          4n2-3n
          ).

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