Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O是AC與BD的交點，E是B1B上一點，且B₁E=

1

2

．
（Ⅰ）求證：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求異面直線D₁O與A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：由于是正方體所以建立空間直角坐標(biāo)系解題簡潔
（Ⅰ）求出

AD1

•

B1D

=0，

AC

•

B1D

=0，即可證明B₁D，垂直平面D₁AC內(nèi)的兩條相交直線AC與AD₁，就證明了B₁D⊥平面D₁AC．
（（Ⅱ）求向量D₁O與向量A₁D，的數(shù)量積，即可求出異面直線D₁O與A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面AEC的法向量為n，再求出

D1O

，利用sin?=|cos＜n，

D1O

＞|=

|n• D1O |

|n|•| D1O |

，即可求直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2）
∴

AD1

=(-2，0，2)，

AC

=(-2，2，0)，

B1D

=(-2，-2，-2)．
∵

AD1

•

B1D

=4+0-4=0

AC

•

B1D

=4-4+0=0
又AC與AD₁交于A點

AD1

⊥

B1D

，

AC

⊥

B1D

∴B₁D⊥平面D₁AC．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A₁D與D₁O所成的角為θ．D₁（0，0，2），O（1，1，0），A₁（2，0，2）．
∴

A1D

=(-2，0，-2)，

D1O

=(1，1，-2)．
∴cosθ=

| A1D • D1O |

| A1D |•|D1O|

=

2

2 2 × 6

=

3

6

．
所求異面直線A₁D與D₁O所成角的余弦值為

3

6

．（9分）
（Ⅲ）設(shè)平面AEC與直線D₁O所成的角為?．
設(shè)平面AEC的法向量為n=（x，y，z）．E(2，2，

3

2

)，C（0，2，0），A（2，0，0），

AE

=(0，2，

3

2

)，

EC

=(-2，0，-

3

2

)．

n• AE =0 n• EC =0

?

x=- 3 4 z y=- 3 4 z

令z=1，則x=-

3

4

，y=-

3

4

∴n=(-

3

4

，-

3

4

，1)．
∴sin?=|cos＜n，

D1O

＞|=

|n• D1O |

|n|•| D1O |

=

7 51

51

．
所求平面AEC與直線D₁O所成角的正弦值為

7 51

51

．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．