Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F(xiàn)分別為B₁A，C₁C，BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB₁-F的大�。�

Answer 1

分析：（I）設(shè)AB的中點為G，連接DG，CG，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合已知中E是C₁C的中點，可得CEDG是平行四邊形，進(jìn)而DE∥GC，則線面平行的判定定理可得，DE∥平面ABC；
（Ⅱ）由已知中ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°，F(xiàn)是BC的中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AF⊥BC，由直三棱柱性質(zhì)可得，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AF⊥B₁F，又由勾股定理，可得B₁F⊥EF結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=AA₁=2，則可求出各頂點坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面AEB₁與平面EB₁F的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)AB的中點為G，連接DG，CG
∵D是A₁B的中點
∴DG∥A₁A且DG=

1

2

A1A
∵E是C₁C的中點
∴CE∥A₁A且CE=

1

2

A1A
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四邊形
∴DE∥GC
∵DE?平面ABC，GC?平面ABC
∴DE∥平面ABC（4分）
（Ⅱ）∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中點
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥B₁F（6分）
設(shè)AB=AA₁=2
則在B₁FE中，B1F=

6

，
則EF=

3

，B₁E=3
∴B₁E²=B₁F²+EF²=9
∴△B₁FE是直角三角形，
∴B₁F⊥EF（8分）
∵AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF（9分）
解：（Ⅲ）分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=AA₁=2，則設(shè)A（0，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0），D（1，0，1）
∵AF⊥平面BCC₁B₁
∴面B₁FE的法向量為

AF

=（1，1，0），（10分）
設(shè)平面AB₁E的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

AE

=(0，2，1)，

AD

=(1，0，1)
∴

AE

•

n

=0，

AD

•

n

=0
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨設(shè)z=-2，可得

n

=(2，1，-2)（12分）
∴cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n || AF |

=

3

3 2

=

2

2

（13分）
∵二面角A-EB₁-F是銳角
∴二面角A-EB₁-F的大小45°（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，（I）的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與已知直線平行的直線，（II）的關(guān)鍵是在平面找到兩條件與已知直線均垂直的相交直線，（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．