Question

已知f（x）=3^x，并且f（a）=9，g（x）=a^x-4^x．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（a）=9，列出關(guān)于a的方程，求出a，即可求得函數(shù)g（x）的解析式；
（2）利用換元法將函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a）=9，
∴3^a=9，
∴a=2，
∴g（x）=2^x-4^x．
（2）令t=2^x，
∵x∈[-1，1]，則t∈[

1

2

，2]，
∴g（x）=2^x-4^x=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
∴函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域是[-2，

1

4

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的求值，函數(shù)的解析式以及函數(shù)求值域問題，主要考查了利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值．屬于基礎(chǔ)題．