Question

如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形紙片△ABC的邊AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使沿直線DE折疊三角形紙片后，定點(diǎn)A正好落在邊BC上（設(shè)為點(diǎn)P），設(shè)∠DAP=θ，BD=y．
（1）試用θ表示y；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）連接DP，通過(guò)∠BAP=θ，BD=y，推出AD=PD=6-y，在三角形BDP中，利用正弦定理列出關(guān)于y的方程，表示出y．
（2）根據(jù)θ的范圍，得出120°-2θ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而得出y的最小值，即為AD的最小值．

解答：解：連接DP，因?yàn)椤螪AP=θ，BD=y，可得AD=PD=6-y，則有∠BAP=∠APD=θ，
∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
在△BDP中，

6-y

sin60°

=

y

sin(120°-2θ)

，
解得y=

6sin(120°-2θ)

sin60°+sin(120°-2θ)

，其中0°≤θ≤60°．
（2）因?yàn)?°≤θ≤60°，∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴y=6-

3 3

sin60°+sin(120°-2θ)

，∴y≤6-

3 3

3 2 +1

=24-12

3

，
當(dāng)θ=15°時(shí)取“=”，
∴y的最大值為24-12

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．