Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為(

3

，0)．
（1）求雙曲線C的方程
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的標準方程，依題意可知a和c，進而根據a²+b²=c²求得b，則雙曲線方程可得．
（2）把直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，利用判別式大于0求得m和k的不等式關系，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為B（x₀，y₀）．根據韋達定理表示出x₀和y₀，根據AB⊥MN，可知AB的斜率為-

1

k

，進而求得k和m的關系，最后綜合可求得m的范圍．

解答：解：（I）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0).
由已知得a=

3

，c=2，a2+b2=c2，得b2=1.
故雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（II）聯立

y=kx+m x2 3 -y2=1.

整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0．
∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，
∴

1-3k2≠0 △=12(m2+1-3k2)＞0.

可得m²＞3k²-1．①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為B（x₀，y₀）．
則x1+x2=

6km

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

.
由題意，AB⊥MN，∴kAB=

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-

1

k

(k≠0，m≠0).
整理得3k²=4m+1．②
將②代入①，得m²-4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k²=4m+1＞0（k≠0），即m＞-

1

4

．
∴m的取值范圍是（-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

點評：本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．