Question

已知兩實(shí)數(shù)x，y滿足

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：（1）z=3x-2y的最大值；
（2）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析：（1）畫出約束條件表示的可行域，推出目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出最大值．
（2）通過(guò)表達(dá)式的幾何意義，判斷最小值時(shí)的位置求出最值即可．

解答：解：（1）由約束條件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的可行域如圖，
直線2x-y-5=0與直線 x+y-4=0的交點(diǎn)（3，1）作直線3x-2y=0的平行線l，
當(dāng)l經(jīng)過(guò)（3，1）時(shí)，z取得最大值，3×3-2×1=7．
（2）由于z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
z=x²+y²-10y+25的幾何意義是點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，5）的距離的平方，
所以z=x²+y²-10y+25的最小值為：原點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離的平方：
d²=(

|-5+2|

2

)2，
即z=x²+y²-10y+25的最小值zmin=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，表達(dá)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．