Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：方程（2^x）²+m•2^x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)2^x=t（t＞0），則t²+mt+1=0有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，考慮應(yīng)用判別式，
分判別式大于0和等于0兩種情況．
解答：解：∵f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程（2^x）²+m•2^x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根．
設(shè)2^x=t（t＞0），則t²+mt+1=0．
當(dāng)△=0，即m²-4=0，∴m=-2時(shí)，t=1．當(dāng)m=2時(shí)，t=-1不合題意，舍去．
∴2^x=1，x=0符合題意．
當(dāng)△＞0，即m＞2或m＜-2時(shí)，
關(guān)于t的方程t²+mt+1=0應(yīng)有一正一負(fù)根，即t₁t₂＜0，這與t₁t₂＞0矛盾，∴這種情況不可能．
綜上可知：m=-2時(shí)，?（x）有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的方程的跟的關(guān)系，就是對(duì)應(yīng)方程的根，屬于基礎(chǔ)題．