Question

如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于點(diǎn)B，CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（I）求證：四點(diǎn)B、P、E、F共圓；
（II）若CD=2，CB=2

2

，求出由四點(diǎn)B、P、E、F所確定圓的直徑．

Answer 1

分析：（1）欲證四點(diǎn)B、P、E、F共圓，只要通過三角形Rt△CBP和Rt△CEF相似證明由此四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；
（2）先根據(jù)（1）中四點(diǎn)B，P，E，F(xiàn)共圓條件得切線，再由切割線定理及三角形相似求得EF，最后再結(jié)合勾股定理求得PF即為所求圓的直徑即可．

解答：證明：（I）連接PB．∵BC切⊙P于點(diǎn)B，
∴PB⊥BC．
又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，
∴Rt△CBP∽R(shí)t△CEF，
∴∠CPB=∠CFE，
∴∠EPB+∠EFB=180°，
∴四點(diǎn)B，P，E，F(xiàn)共圓（5分）
（II）∵四點(diǎn)B，P，E，F(xiàn)共圓，且EF⊥CE，PB⊥BC，
∴此圓的直徑就是PF．
∵BC切⊙P于點(diǎn)B，且CD=2，CB=2

2

，
∴由切割線定理CB²=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．
又∵Rt△CBP∽R(shí)t△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得EF=

2

．
在Rt△FEP中，PF=

PE2+EF2

=

3

，
即由四點(diǎn)B，P，E，F(xiàn)確定圓的直徑為

3

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段，切割線定理、四點(diǎn)共圓的判定定理等的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．