Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足Sn=

1

3

an-1，那么

lim

n→∞

(a2+a4+…+a2n)的值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、1
• D、-2

Answer 1

分析：首先根據(jù)S_n和a_n的關(guān)系，注意到an=

S1        n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，判斷出數(shù)列a_n的類(lèi)別，再化簡(jiǎn)求極限．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

3

a1-1， a1= -

3

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

3

an-1-  (

1

3

an-1 -1)，
整理得，an=-

1

2

an-1，
∴a_n是以-

3

2

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
從而，a_2n是以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列．∴其各項(xiàng)和為

3 4

1- 1 4

=1
即原式=1，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列和極限知識(shí)的綜合考查，其中題中所求的極限式即是等比數(shù)列a_2n的各項(xiàng)和．