解：（1）要存在x
0∈[0，1]使得不等式f（x
0）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）
min．
求導(dǎo)得f′（x）=2（1+x）-
，定義域為（-1，+∞），
∵當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）
min=f（0）=1，∴m≥1．故實數(shù)m的最小值為1．
（2）關(guān)于x的方程f（x）=x
2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根．
設(shè)h（x）=（1+x）-2ln（1+x），則h′（x）=
由h′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）；由h′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴h（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
∵h（ ）＞h（2），且h（x）在[0，2]上連續(xù)
∴方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根時，h（1）＜a≤h（2）
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．
分析：（1）要存在x
0∈[0，1]使得不等式f（x
0）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）
min，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可以得到f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，即f（x）的最小值為f（0）=1，所以m的最小值為1
（2）原題設(shè)即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），這時只需解出h（x）在[0，2]上的值域，就可以得出a的取值范圍．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題比較新穎的地方是，求解（2）中的a的取值范圍，經(jīng)過等價變換，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，從而解出a的取值范圍．
