Question

已知函數(shù)，其中是實數(shù)，設為該函數(shù)的圖象上的兩點，且.

⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；

⑶若函數(shù)的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）1；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知，分段函數(shù)在時是二次函數(shù)的一部分，有兩個單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間，減區(qū)間，時是對數(shù)函數(shù)，只有一個單調(diào)增區(qū)間；（2）對函數(shù)圖象來講，它在某點處的切線斜率等于該函數(shù)在此點處的導數(shù)，故有，由于，兩點在軸的左邊，，因此有，顯然有，可以表示為關于的函數(shù)，從而求出最小值（，應用基本不等式即可得解）也可以直接湊配出基本不等式的形式，＝利用基本不等式）；（3）這里我們首先分析所處范圍，結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間，只能是，那么我們可得出兩點處的切線方程分別為，，兩條切線相同，則有，于是可把表示為（或者）的函數(shù)，把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．

試題解析：（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為      4分

（2），

當時，因為，所以.      8分

∴

當且僅當時等號成立，

∴的最小值為1.      10分

（3）當或時，，故

當時，函數(shù)的圖象在點的切線方程為

即

當時，函數(shù)在切線方程為

兩切線重合的充要條件是      13分

由①及知

由①②得

又，與在都為減函數(shù).

∴      16分

考點：（1）單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)圖象的切線及基本不等式；（3）切線與函數(shù)的值域．