Question

下列四個(gè)命題：
①命題P：

x-2

x2+2x-3

≤0；則￢P命題是；

x-2

x2+2x-3

＞0；
②（1+kx²）¹⁰（k為正整數(shù)）的展開式中，x¹⁶的系數(shù)小于90，則k的值為1；
③從總體中抽取的樣本（x₁，y₁），（x₂，y₂）…，（x_n，y_n）．若記

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi，則回歸直線

y

=bx+a必過點(diǎn)（

.

x

，

.

y

）；
④過雙曲線x2-

y2

4

=1的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若弦長|AB|=8，則這樣的直線恰好有3條；其中正確的序號(hào)是

②③④

（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①利用命題的否定判斷．②利用二項(xiàng)展開式定理的內(nèi)容判斷．③根據(jù)回歸直線的性質(zhì)判斷．④利用直線與雙曲線的相交弦的取值情況進(jìn)行判斷．

解答：解：①命題P的否定是：

x-2

x2+2x-3

＞0且x²+2x-3=0，所以①錯(cuò)誤．
②二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為C

r 10

(kx2)r，所以當(dāng)r=8時(shí)，得到x¹⁶的系數(shù)為，

C

8 10

k8＜90，解得k⁸＜2，
因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k=1，所以②正確．
③根據(jù)回歸直線的性質(zhì)可知，回歸直線

y

=bx+a必過點(diǎn)（

.

x

，

.

y

），所以③正確．
④由雙曲線x2-

y2

4

=1的方程知a=1，b=2，
過右焦點(diǎn)的通徑長度為

2b2

a

=8，因?yàn)檫^焦點(diǎn)且交雙曲線一支的弦中通徑最短，所以當(dāng)A、B都在右支且滿足AB|=8的弦只有一條；又實(shí)軸長為2，小于8，所以過右焦點(diǎn)、A、B位于兩支且滿足|AB|=8的弦必有兩條，綜上，滿足條件|AB|=8的直線有3條，所以④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．