Question

已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.

（Ⅰ）若，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓的半焦距，又，根據(jù)離心率的定義得，則，所以，從而得出所求橢圓的方程為.

（2）根據(jù)題意可設點、的坐標分別為、，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得，則，，因為原點在圓上，所以，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可知四邊形為矩形，所以，又，所以，，因此，即，從而可整理得，又因為，所以，即，從而，所以，因此，解得.（如圖所示）

試題解析：（Ⅰ）由題意得，得.                             2分

結(jié)合，解得，.                          3分

所以，橢圓的方程為.                                 4分

（Ⅱ）由 得.

設.

所以，                                6分

依題意，，

易知，四邊形為平行四邊形，

所以，                                               7分

因為，，

所以.         8分

即 ，                                  9分

將其整理為 .                10分

因為，所以，.           11分

所以，即.                      13分

考點：1.橢圓方程；2.直線與橢圓；3.向量.