Question

如圖l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)．如圖2，將△ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角，連接BC，BD，P是棱BC的中點(diǎn)．
（1）在圖2中求證：AE⊥BD；’
（2）EP是否平行平面BAD？并說明理由．
（3）求直線EB與平面BCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM，根據(jù)題意可得BM⊥AE，DM⊥AE，從而可知AE⊥平面BDM，故可得AE⊥BD
（2）EP與平面BAD不平行．取BE的中點(diǎn)F，連接PF，可證PF∥平面BAD，若EP∥平面BAD，所以平面BEC∥平面BAD，這與平面BAD∩平面BEC=B矛盾
（3）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB為x，y，z，設(shè)AE=2，則E（1，0，0），B（0，0，

3

），D（0，

3

，0），C（2，

3

，0），故

EB

=(-1，0，

3

)，

DC

=(2，0，0)，

BD

=(0，

3

，-

3

)，可求平面BCD的法向量，從而可求直線EB與平面BCD所成的角的余弦值．

解答：（1）證明：連接BD，取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM．
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)
∴△ABE與△ADE都是等邊三角形
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴BM⊥AE，DM⊥AE   
∵BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM
∴AE⊥平面BDM
∵BD?平面BDM
∴AE⊥BD；                  
（2）解：EP與平面BAD不平行．
取BE的中點(diǎn)F，連接PF
∵P是棱BC的中點(diǎn)
∴PF∥CE
∵AD∥CE
∴PF∥AD
∵PF?平面BAD，AD?平面BAD
∴PF∥平面BAD
若EP∥平面BAD
∵FP∩EP=P
∴平面BEC∥平面BAD
這與平面BAD∩平面BEC=B矛盾
∴EP與平面BAD不平行．
（3）解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB為x，y，z，設(shè)AE=2，則
E（1，0，0），B（0，0，

3

），D（0，

3

，0），C（2，

3

，0）
∴

EB

=(-1，0，

3

)，

DC

=(2，0，0)，

BD

=(0，

3

，-

3

)
設(shè)平面BCD的法向量為

n

=(x，y，z)
∴

n • DC =(x，y，z)•(2，0，0)=0 n • BD =(x，y，z)•(0， 3 ，- 3 )=0

∴

x=0 3 y- 3 z=0

∴平面BCD的法向量可以為（0，1，1）
設(shè)直線EB與平面BCD所成的角為α，則
cos(

π

2

-α)=

n • EB

| n |•| EB |

=

(0，1，1)•(-1，0， 3 )

2 ×2

=

6

4

∴sinα=

6

4

∴cosα=

10

4

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形翻折為載體，考查線線垂直，考查線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．