Question

已知函數(shù)f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值，以及此時(shí)x的取值集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期等于

2π

ω

，求得它的最小正周期．
（2）當(dāng) cos（

x

2

+

π

6

）=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為6，此時(shí)，（

x

2

+

π

6

）=2kπ，k∈z，由此求得當(dāng)f（x）取得
最大值時(shí)，x的取值集合．
（3）令 2kπ-π≤（

x

2

+

π

6

）≤2kπ，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x）的解析式為f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3，可得它的最小正周期 T=

2π

1 2

=4π．
（2）根據(jù)f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3可得，當(dāng) cos（

x

2

+

π

6

）=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為6，
此時(shí)，（

x

2

+

π

6

）=2kπ，k∈z，解得 x=4kπ-

π

3

，k∈z．
故當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，x的取值集合為{x|x=4kπ-

π

3

，k∈z}．
（3）令 2kπ-π≤（

x

2

+

π

6

）≤2kπ，k∈z，可得 4kπ-

7π

3

≤x≤4kπ-

π

3

，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

7π

3

，4kπ-

π

3

]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的周期性及求法，復(fù)合三角函數(shù)的值域、單調(diào)性，屬于中檔題．