Question

若平面點(diǎn)集M滿足：任意點(diǎn)（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，則稱該點(diǎn)集M是“t階穩(wěn)定”點(diǎn)集，現(xiàn)有四個(gè)命題：
①對任意平面點(diǎn)集M，都存在正數(shù)t，使得M是“t階穩(wěn)定”點(diǎn)集；
②若M={（x，y）|x²≥y}，則M是“

1

2

階穩(wěn)定”點(diǎn)集；
③若M={（x，y）|x²+y²+2x+4y=0}，則M是“2階穩(wěn)定”點(diǎn)集；
④若M={（x，y）|x²+2y²≤1}，是“t階穩(wěn)定”點(diǎn)集，則t的取值范圍是（0，1]．
其中正確命題的序號為（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：集合

分析：首先，對于①，直接判斷即可，對于②：�。�2，3），代人驗(yàn)證即可，對于③：�。�1，-1）驗(yàn)證即可，對于④：則直接根據(jù)“t階穩(wěn)定”點(diǎn)集進(jìn)行求解．

解答：解：對于①：平面點(diǎn)集M={（x，y）|x，y∈R}，
∴（tx，ty）∈M，
∴①正確；
對于②：∵M(jìn)={（x，y）|x²≥y}，
∴�。�2，3），
而點(diǎn)（1，

3

2

）∉M，
∴②錯(cuò)誤；
對于③：�。�1，-1）為集合M上的一點(diǎn)，
則（2，-2）∉M，
∴③錯(cuò)誤；
對于④：∵x²+2y²≤1，根據(jù)題意，得
∴t²（x²+2y²）≤1，
∵t∈（0，+∞），
∴t∈（0，1]．
∴④正確；
故選：C

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了集合的元素特征，屬于信息給予題，難度中等．準(zhǔn)確理解給定的信息是解題的關(guān)鍵．