Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)證明： 為等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意令,把數(shù)列的和用項(xiàng)的形式列出,代入已知求出;(2)由已知拆項(xiàng),化簡(jiǎn)為數(shù)列的遞推關(guān)系式形式,由等比數(shù)列的定義以及代入,即可證明.

試題解析:

(1)解：當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.

(2)證明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

因?yàn)?4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

所以 4an＋2＋an＝4an＋1，

所以＝＝＝

＝，

所以 數(shù)列是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)睛: 等比數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：若 (為非零常數(shù))或 (為非零常數(shù)且且)，則是等比數(shù)列．(2)中項(xiàng)公式法：在數(shù)列中， 且 ()，則數(shù)列是等比數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成 (， 均是不為0的常數(shù)， )，則是等比數(shù)列．