Question

經(jīng)過拋物線y²=2p（x+2p）（p＞0）的頂點(diǎn)A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程．

Answer 1

分析：利用參數(shù)法求解，設(shè)直線AB的斜率為k，用k來表示線段BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消去參數(shù)k即可得線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程．

解答：解：A（-2p，0），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2p）（k≠0）．
與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2p

k2

-2p，

2p

k

），
由于AC與AB垂直，則AC的方程為y=-

1

k

（x+2p），
與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2k²p-2p，-2kp），
又M為BC中點(diǎn)，設(shè)M（x，y），
則

x= p k2 +k2p-2p y= p k -kp

，
消去k得y²=px，即點(diǎn)M的軌跡是拋物線．

點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，參數(shù)法是指，若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程．